Konsep Tak Terhingga Pada Continuum Hypothesis
Ini bukan seperti yang umumnya dikenal , nilai tak terbatas. Melainkan tak terhitung dalam konteks yang berbeda.
Anggaplah suatu deret bilangan bulat {1, 2 , 3, n} sampai sejauh berapapun (infinite).
Lalu, bilangan real {1.5, 2.6 3.9563, r} sampai sejauh berapapun (infinite)
Sebenarnya bagaimanapun urutan bilangan selalu tak terbatas, dalam arti tak terjangkau.
Namun George Cantor berkata berbeda.
Bahwa ada tak terhitung yang lebih dari tak terhitung lainnya.. Ada dua deret bilangan tak berhingga, itu maksudnya.
Contoh sederhana:
- ... semua bintang di langit tak terhitung, dan sama tak terhitungnya seperti jumlah rambut di kepala semua orang
- ... atau, semua planet yang ada adalah tak terhitung, dan sama tak terhitungnya seperti jumlah partikel
- ... lebih aksiomatis lagi, semua kemungkinan yang ada tak terhitung, adalah sama dengan semua perubahan yang ada.
Anehnya George Cantor mengklaim adanya tak terbatas-2 yang lebih besar dari tak terbatas-1.
Dua Jenis Tak Terbatas
Bukankah tak terhingga sudah cukup banyak sekali tak terhitung? Lalu bagaimana mungkin ada dua jenis tak terbatas, dimana salah-satu "tak terbatas" lebih besar dari "tak terbatas" kedua.
Begitulah konsep dari George Cantor. Padahal secara intuitif, yang tak terbatas ya sudah cukup banyak tak tertandingi. Lalu seberapa banyaknya jenis tak terbatas lain yang lebih dari tak terbatas sebelumnya?
Disinilah dimulai pemahaman tentang continuum hypothesis
____
Bahasa sederhananya ... ada yang terbanyak yang masih lebih banyak dari terbanyak sebelumnya. Ada dua yang terbanyak?
Atau, "ada yang tertinggi yang lebih tinggi dari yang tertinggi". Aneh ya...
Kembali ke contoh semula ...
Contoh sederhana:
- ... semua bintang di langit tak terhitung, dan sama tak terhitungnya seperti jumlah rambut di kepala semua orang
- ... atau, semua planet yang ada adalah tak terhitung, dan sama tak terhitungnya seperti jumlah partikel
- ... lebih aksiomatis lagi, semua kemungkinan yang ada tak terhitung, adalah sama dengan semua perubahan yang ada.
Kalau disederhanakan ...
... Menghitung bintang di langit vs menghitung jumlah rambut di semua kepala
JIKA ADA DUA HAL YANG SEBELUMNYA DIANGGAP SAMA-SAMA SULITNYA, LALU BAGAIMANA MENGANGGAP YANG SATU LEBIH SULIT DARI LAINNYA.
Lebih dalam lagi dan aksiomatis ...
Kalau ada dua hal yang mustahil, maka bagaimana mengukur ada yang lebih mustahil dari kemustahilan lainnya
ILUSI MATEMATIS ...
Deret bilangan selalu tak terhitung, lalu bagaimana ada deret bilangan yang lebih tak terhitung dari yang tak terhitung sebelumnya?
Disinilah mereka ter-ilusi. Suatu ilusi matematis.
Kalau anda memberi label untuk membedakan pihak1 & pihak2, si fulan & si fulana, maka ada istilah untuk tak terbatas-1 & tak terbatas-2.
Aleph-0 (tak terbatas-1) & Aleph-1 (tak terbatas-2)
METODE YANG PENUH TIPU DAYA - Tanpa Mereka Sadari
Bagaimana mengukur sesuatu lebih banyak dari lainnya sedangkan kedua-duanya sama banyaknya? Demikianlah metodenya ditemukan yang menjadi akar dari permasalahan (perselisihan) ini. Beberapa ada yang menolak hal ini.
Bukanlah mereka menipu, tetapi mereka tertipu sendiri, lalu menjadikan hal ini bagai tipu daya bagi generasi berikutnya
____
Mirip metode dari Godel yang menyatakan bahwa matematika itu rapuh (sempat membuat geger dunia para pendekar intelektual matematika). Ya ga masalah juga sih, sekali-kali heboh, supaya terkesan tantangan intelektual (padahal yang terjadi adalah tipuan intelektual yang canggih), hehe
YANG SEBENARNYA ADALAH BAHWA MATEMATIKA ITU MEMANG PASTI, hanya saja mereka melihat kelenturan matematika sedemikian rupa, lalu menuduh matematika itu tak kokoh.
Ini mirip seseorang yang berkata kalau sifat besi itu lunak dan sifat air itu kuat, hanya karena besi dipanasi dapat ditekuk & air bertekanan tinggi dapat membelah besi.
Padahal antara besi & air memiliki sifat yang berbeda. Demikianlah semuanya menjadi seolah kabur, padahal semuanya tetap kokoh sebagaimana seharusnya mengikuti keadaan (besi kokoh sebagai besi, air kokoh sebagai air).
Metode Yang Penuh Tipu Daya ...
ILUSTRASI
Bagaimana metodenya untuk mengukur bahwa di antara dua hal yang SAMA-SAMA SULIT DIANGGAP ADA YANG PALING SULIT?
Bagaimana metodenya untuk mengukur bahwa sesuatu yang tak tertandingi bisa menandingi yang tak tertandingi lainnya?
Bagaimana metodenya untuk mengukur bahwa sesuatu yang tak terhitung banyaknya masih bisa menandingi lainnya yang juga tak terhitung banyaknya?
Saya akan berikan contohnya sebelum masuk ke metode formalnya, agar kita bisa melihat kelucuan continuum hypothesis dalam menalar di kasus ini.
__
Ini seperti antara air panas & air es, lalu ditanyakan,
- ... "mana yang lebih mencirikan air, air panas atau air es?"
=> Loh air panas & air es itu ya air yang sama, jadi tak ada yang lebih bersifat air dari keduanya (antara air panas & air es)
Tetapi ada yang ngotot bahwa air panas lebih air dibanding air es. Aneh kan.
Lalu kita tanya, "kok bisa air panas lebih air dibanding air es?" Jawabannya? Hehe ...
Kata dia, ... "air panas lebih greget, enak dibikin air kopi panas. Lebih membawa keakraban. Enak dibawa untuk bikin kopi di warung kopi sambil ngobrol". Wew lucu bukan jawabannya. GA NYAMBUNG. Begitulah yang terjadi pada kasus continuum hypothesis
Bagaimana caranya secara formal menurut versi George Cantor, untuk menentukan bahwa ada deret bilangan tak terbatas yang lebih tak terbatas dari tak terbatas yang lain?
Metode Continuum Hypothesis
Caranya sederhana:
1. Ambil sekumpulan bilangan
yang secara menyeluruh
jumlahnya tak terhitung
banyaknya.
Contoh bilangan integer (bukan
desimal), {1. 2, 3, 4, ...} | Sadari
dahulu bahwa deret bilangan
ini sudah jelas tak terhitung
banyaknya {1. 2, 3, 4, 5, ...,
1000000, ..., 12542863, ...}
2. Ambil sekumpulan bilangan
jenis lain yang secara
menyeluruh jumlahnya juga tak
terhitung banyaknya sama
seperti point 1. yang juga tak
terhitung banyaknya.
Contoh bilangan real {1, 1.5, 2,
2.5, 3, 3.5, ...} | Sadari dahulu
bahwa deret bilangan ini sudah
jelas tak terhitung banyaknya
{1, 1.5, 2, ..., 12543.42288, ... ,
1000000, ...,
12542863.000001, ...}.
- Point 1. mewakili bilangan yang tak terhitung banyaknya dari jenis non desimal (aleph-0)
- Point 2. mewakili bilangan yang tak terhitung banyaknya dari jenis real yang melibatkan angka desimal (aleph-1)
Point 1. & point 2. menunjukkan adanya sekumpulan bilangan beda jenis, yang masing -masingnya jumlahnya tak terhitung banyaknya.
Nah, disini serunya. Bagaimana mengukur bahwa salah-satu dari keduanya lebih banyak dari lainnya, sedangkan keduanya sudah termasuk sama banyaknya sampai tak terhitung banyaknya?
Bijektif
Sederhana, begitu katanya. Cukup dibuatkan hubungan (relasi) diantara masing-masing anggota dari dua himpunan. Jadi penasaran kan, mengapa dipilih cara seperti itu? Dimana akurasinya?
Kita buatkan contoh sederhana:
- Sepatu Bot <---> Pria
- Hak Tinggi <---> Wanita
- Sandal Jepit <---> Anak Kecil
Terlihat ada hubungan satu-satu antara yang kiri <---> kanan. Ini tanda bahwa keduanya memiliki kesamaan jumlah.
Contoh lain:
1 <---> 2
2 <---> 4
3 <---> 6
4 <---> 8
5 <---> 10
6 <---> 12
7 <---> 14
8 <---> 16
9 <---> 18
Kumpulan bilangan sebelah kiri {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} memiliki jumlah yang sama banyaknya dengan kumpulan bilangan di sebelah kanan {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}. Walaupun sekilas nampak total himpunan bilangan disebelah kanan lebih banyak dari total jumlah himpunan bilangan di sebelah kiri. Bahkan sekilas kalau dilihat dari angka terbesar dari sebelah kiri & kanan, juga terlihat, yang sebelah kanan (18) lebih besar dari sebelah kiri (hanya sampai batas angka 9).
Namun penghitungan untuk menentukan manakah yang lebih banyak, bukan dari sana. Ini (menurut George Cantor) tidak sedang menghitung total secara terbatas, tetapi menghitung TOTAL KEMUNGKINANNYA yang seperti dikatakan sebelumnya yaitu seberapa banyaknya total kemungkinan tak terhitungnya.
Ya sebenarnya mudah jawabannya. Total kemungkinannya bisa berapapun yang sama banyaknya antara himpunan bilangan di sebelah kiri dibandingkan himpunan bilangan disebelah kanan. Namun George Cantor ngotot bahwa kemungkinan jumlah tak terbatas dari dua himpunan bisa berbeda. Ada tak terbatas yang lebih banyak dari tak terbatas yang lain. Dasar penalarannya bagaimana?
Jadi, jika anggota dari ke dua himpunan dapat disambungkan satu-satu, maka berarti keduanya sama banyaknya, sama memiliki kemungkinan tak terbatas.
Ini mirip penalaran membandingkan antara tali 100 meter vs tali 200 meter tentu lebih panjang tali 200 meter.
Jadi Cantor merumuskan pola memperbandingkan jarak seperti diatas dan diterapkan pada dua himpunan. Kesimpulannya?
Jika anggota dari dua himpunan dapat saling terhubung satu-satu, maka berarti jarak keduanya sama panjangnya dan sejauh berapapun, kedua himpunan dianggap memiliki peluang ketakterbatasan yang sama. Namun ...
Namun, jika anggota di antara dua himpunan tidak dapat dihubungkan semuanya, dalam arti ada yang tak terhubung, maka? Keduanya ada yang lebih banyak, sehingga nilai tak terbatasnya lebih besar dari tak terbatas lainnya.
Bahasa sederhananya: ada tak terbatns yang lebih pendek dari tak terbatas lainnya. Lihatlah, semakin absurd penalarannya, tetapi dipaksakan terus, seolah ini merupakan struktur matematika. Padahal bangun (struktur) penalaran seperti ini sudah bukan masuk kategori matematis, tetapi masuk kategori "absurd".
Saya berikan contohnya ...
Ini seperti ketika kita mengancingkan baju, maka jika semua terkancing, dianggap sisi kiri & sisi kanan sama panjang.
Tetapi ketika nyambung kancingnya ga pas, geser, jadi terlihat ada sisi baju yang lebih panjang. Tetapi sebenarnya SECARA TOTAL PANJANG SISI KIRI & SISI KANAN SAMA!!! Tak ada yang lebih banyak.
Continuum Hypothesis
(Pengukuran)
Demikian pula Cantor mengukur mana yang lebih banyak diantara dua anggota himpunan yang peluangnya sama-sama tak terhitung banyaknya, dengan menarik garis hubung di antara dua titik anggota himpunan.
Yaitu dengan membuat simulasi antara bilangan integer vs bilangan real yang melibatkan bilangan desimal. Seperti ini:
1 <---> 1
❌ <---> 1.5
2 <---> 2
❌ <---> 2.5
3 <---> 3
❌ <---> 3.5
4 <---> 4
❌ <---> 4.5
5 <---> 5
Mirip ilustrasi mengancingkan baju, hanya bedanya, panjangnya sama antara sisi kiri dan kanan, tetapi di sisi kiri baju, lobang kancingnya sedikit dan disebelah kanan baju terdapat kancing lebih banyak. Jadi ada kancing yang tak masuk di lubang (karena lubang kancing lebih sedikit), sehingga disimpulkan bahwa sisi sebelah kanan kancing baju lebih banyak (padahal jarak kedua sisi ya masih tetap sama.
Disini lucunya penalaran continuum hypothesis.
Ini hanya contoh dengan ilustrasi untuk memudahkan pemahaman agar terlihat kekacauan penalarannya dimana. Walaupun menggunakan ilustrasi, namun tetap saja ilustrasinya mampu memperlihatkan secara tegas dimana kekacauan penalarannya.
Nanti, pada akhirnya saya akan jelaskan secara aksiomatis, agar pemahaman melalui ilustrasi ini menjadi lebih bening secara meyakinkan bahwa penalaran pada continuum hypothesis itu SALAH! ❌ :
- bahwa penalaran pada continuum hypothesis itu absurd
- bahwa penalaran pada continuum hypothesis itu tidak mencirikan penalaran matematis dan tidak menggugurkan kepastian matematika
Analisis Aksiomatis "Continuum Hypothesis"
Simak format berikut ini:
1 <---> 1
❌ <---> 1.5
2 <---> 2
❌ <---> 2.5
3 <---> 3
❌ <---> 3.5
4 <---> 4
❌ <---> 4.5
5 <---> 5
Analisis 1
Mereka mengira ada titik yang tak dapat dihubungkan (ditandai oleh silang) secara satu-satu (one_to_one) dari arah kiri ke kanan (dari titik anggota himpunan bilangan integer ke titik anggota himpunan bilangan real).
Tetapi mereka lupa bahwa yang ditandai silang ❌ itu sebenarnya adalah suatu lokasi, suatu keberadaan, bukan ketiadaan. Karena ketiadaan tidak dapat berada di antara keberadaan. Ini berarti sebenarnya tiada retak, tiada rongga di sisi kiri himpunan, maka ini menegaskan secara aksiomatis bahwa dari sisi kiri dan dari sisi kanan, selalu dapat dihubungkan satu-satu, sehingga kedua sisi dilihat dari sudut perhitungan manapun menunjukkan kesetaraan kemungkinan yang sama tak terhitungnya, tanpa ada himpunan dengan anggota lebih banyak.
Analisis 2
Ketika anda menunjuk ke angka berapapun di sebelah kiri himpunan, sebenarnya anda sedang menunjuk ke sesuatu keberadaan.
Ketika anda menunjuk ke angka satu, maka sebenarnya anda sedang menunjuk ke sesuatu yang ada. Pertanyaannya adalah "seberapa luas angka satu yang anda tunjuk tersebut?"
... Tentu angka 1 adalah seluas dari 0
sampai 0.999999999999999 ...
... Demikian pula angka 2 adalah
seluas dari 0 sampai
1.999999999999999 ...
Terlihat disini bahwa bahkan dari sisi kiri-pun ada titik-titik penghubung ke angka desimal dari himpunan bilangan real di sebelah kanan. Sehingga?
Sehingga di antara anggota himpunan bilangan bulat dan anggota himpunan bilangan real (melibatkan desimal), selalu dapat dipasangkan (dibuatkan keterhubungan) satu-satu tanpa ada yang terlewatkan.
Inipun telah menegaskan bahwa dari sisi kiri ke sisi kananpun ada kesetaraan jumlah, bahwa kedua himpunan merupakan himpunan dengan kemungkinan jumlah TAK TERHITUNG YANG SAMA BANYAKNYA.
Selesai sudah. Jadi?
Ya, bahwa "Continuum Hypothesis" adalah SALAH ❌
Bahwa tidak ada dua atau lebih "tak terhitung" yang satu dan lainnya lebih besar.
Cantor’s Diagonal
Bagaimana dengan diagonal Cantor
Sebenarnya, apakah kita mencoba melakukan diagonal cantor, atau melipatkan power set aleph-null, tetapi itu sebenarnya kita lakukan pada angka yang sama dengan bilangan bulat, sebagai satu tak terhingga.
Meskipun anda dapat membuat beberapa infinity, tetap saja anda melakukannya pada rentang yang sama.
Hanya saja sudut pandang kita melihat semua itu sebagai area yang berbeda, ilusi keterpisahan, karena kita berhadapan dengan banyak kardinalitas. Tetapi intinya?
Semua himpunan itu hanyalah satu himpunan bilangan tak hingga, dan kita memang mengatur angka-angka itu ke dalam kumpulan sudut pandang yang berbeda.
Jadi kita mengira menghadapi sesuatu yang semakin berbeda pada tahap tak terhingga yang berbeda.
Ini hanya satu set. Hanya saja mereka melakukan pertukaran di antara angka, jadi sepertinya mereka melakukan dua momen atau lebih, tetapi sebenarnya hanya satu momen yang bergantian.
Hipotesis kontinum gagal, karena alasan berikut:
Jika kita dapat melakukan banyak perhitungan pada area tak terhingga yang berbeda dan sepertinya kita melakukan hal yang berbeda, dan sekali lagi sepertinya kita berurusan dengan (banyak) tak terhingga yang berbeda, tetapi sebenarnya kita melakukan semua itu secara bergantian di wilayah yang sama .
Kita menggunakan dari tumpukan angka yang sama, digunakan secara bergantian.
Aksioma ini menggugurkan masalah ini ...
- Jika dua hal itu saling tumpang tindih dengan sempurna, maka mereka benar-benar hanya satu hal (diagram venn)
- Dua tak terbatas tumpang tindih satu sama lain dengan sempurna, maka itu hanya satu hal
Kita bermain di area yang sama dan tidak ada infinity yang lebih besar, itu hanya satu infnity
