Teorema 1 Ketidaklengkapan Godel
📍Selalu ada kebenaran matematis yang tak bisa diuji oleh sistem matematika yang tersedia itu sendiri.
Lebih detail bahwa matematika mengungkapkan kebenaran yang tak bisa dibuktikan oleh sistem matematika yang tersedia
Perumpamaan
♨ Bagaimana membuktikan 2 + 2 = 4 ❓
👉 Dalam kasus ini 2 + 2 = 4, bisa dibuktikan dengan 1 +1 + 1 + 1 = 4.
♨ Tetapi dalam kasus lain bisa terjadi tak ditemukan solusinya. Seperti kasus continuum hypothesis (hipotesa kontinum) yang menyatakan adanya dua ketakterbatasan atau ketakterbatasan yang lebih besar dari ketakterbatasan lainnya
👉 Dalam kasus ini, matematika tak bisa memastikan benar / tidaknya "continuum hypothesis"
HIKMAH
❇️ GODEL: bahwa matematika punya kelemahan, sistem yang tak sempurna.
⭕️ Di satu sisi benar, bahwa sistem buatan manusia punya keterbatasan. Tetapi saya melihat ini tak kontekstual.
❇️ SAYA: BISA TERJADI MATEMATIKA MENCIPTAKAN POLEMIKNYA SENDIRI YANG TAK TERJAWAB
Teorema 2 Ketidaklengkapan Godel
📍Sebuah sistem matematika yang kuat dan konsisten tidak dapat membuktikan kebenaran konsistensinya sendiri
Ini seperti tukang cukur yang tidak bisa mencukur dirinya sendiri, sistem matematika juga tidak dapat membuktikan kebenarannya sendiri.
Perumpamaan
♨ Dalam kasus ini 2 + 2 = 4, bisa dibuktikan dengan 1 +1 + 1 + 1 = 4 lalu kalau hanya ada angka terkecil 1, bagaimana membuktikan 1 +1 + 1 + 1 = 4 ❓
- 👉 Dalam kasus ini, perlu rumusan matematika atau metode lain di luar yang telah ada (salah satunya "META Matematika")
HIKMAH
❇️ GODEL: bahwa matematika punya kelemahan, sistem yang tak sempurna. Ini bukan berarti bahwa kebenaran runtuh, melainkan keterbatasan kita
⭕️ Di satu sisi benar, bahwa sistem buatan manusia punya keterbatasan DAN MEMERLUKAN BANTUAN DARI YANG LAIN. Tetapi saya melihat ini tak kontekstual, dalam kasus ini
❇️ SAYA: MATEMATIKA MENALAR DI LUAR JALUR YANG SEBELUMNYA DISEPAKATI
POLEMIK GODEL
Di sini argumentasi saya, agak kontroversial
Ada 2 kesalah(paham)an yang menurut saya sedemikian tersamar.
- 1⃣ Aksioma matematika tak perlu pembuktian, sehingga teorema 1 Godel bukan menegaskan adanya aksioma yang tak bisa dibuktikan (karena memang tak perlu dibuktikan) melainkan menegaskan adanya aksioma yang kontradiksi dengan aksioma lain yang telah ada, sehingga menimbulkan inkonsistensi
- 2⃣ Pada akhirnya, pernyataan bahwa aksioma tak perlu dibuktikan, dilanggar oleh matematika itu sendiri demi menguji konsistensinya, tetapi tetap gagal, sehingga disimpulkan selalu ada kontradiksi
Koreksi Aksiomatis
❇️ Jika keseluruhan areanya bersifat matematis (pasti), tentu keseluruhan bagiannya saling konsisten, sehingga jika "ada yang tak bisa dibuktikan", itu tidak hanya menunjukkan adanya inkonsistensi, tetapi juga kontradiksi serta kesalahan prosedur matematis
Point 1⃣ akan dibantah oleh ahli matematika dengan berkata "tak ada kontradiksi pada matematika, hanya ada "tak bisa dibuktikan". ❌
Padahal yang terjadi tanpa disadari bahwa "yg tak bisa dibuktikan" sebenarnya mengandung kontradiksi. Hanya karena prosedurnya secara matematis jadi hasilnya dianggap pasti valid meskipun tak konsisten, tetapi dianggap tak kontradiksi. ✅
Point 2⃣, juga akan dibela bahwa matematika tidak melanggar aturannya sendiri. Bahwa matematika tidak sedang membuktikan aksioma yg tak perlu dibuktikan, melainkan menguji konsistensi antar aksioma. ❌
Namun justru menguji konsistensi antar aksioma mengharuskan pengujian aksioma "yg tak bisa dibuktikan" itu sendiri, untuk memastikan konsistensinya dengan aksioma lainnya ✅
Ilustrasinya ...
Wanita susah dipahami melalui pemikiran, karena perilaku wanita cenderung berlandaskan perasaan sehingga harus sensitif melibatkan perasaan untuk memahami wanita.
Tetapi ada kasus tertentu, seorang wanita bertindak berdasarkan perasaan dengan pola tertentu, sehingga terpaksa disimpulkan kalau wanita sebenarnya juga punya pola perilaku, sehingga bisa dipahami dengan pemikiran.
Namun pengamat lain bisa membela kalau wanita tersebut perilakunya berdasarkan perasaan, tidak berdasarkan pertimbangan pemikiran, sehingga tak bisa dipahami pakai pemikiran. Padahal diketahui bahwa adanya pola perasaan menegaskan adanya kemampuan kita memahami pola perilakunya dengan pemikiran.
GARIS BESARNYA ...
Bahwa meskipun aksioma menurut kesepakatan tak perlu pembuktian, namun fakta adanya inkonsistensi antara aksioma, menegaskan adanya kontradiksi yang perlu dibuktikan, sehingga pada akhirnya aksioma perlu dibuktikan yang bertentangan dengan pendapat semula bahwa aksioma tak perlu pembuktian
KELENGKAPAN GODEL
Ketalengkapan Godel seperti puzzle yg cacat. Dimana ketika semua bingkai bisa disusun, maka ada pesimisme bahwa selalu ada satu bagian puzzle yg belum tertutupi. Itu bukan karena kelemahan kita sebagai manusia, tetapi keterbatasan matematika itu sendiri.
Ibaratnya, material bingkai selalu cacat. Tak ada yang sempurna kecuali Tuhan. Selalu ada catat di kita, termasuk bingkai matematika. Sehingga untuk menutupi cacat tersebut, memerlukan bahan atau bantuan dari luar.
Logisnya "selalu ada yg tak bisa dibuktikan oleh sistem tertentu kecuali perlu bantuan dari sistem lainnya". Ketaklengkapan Godel, secara sederhana menegaskan "ada aksioma yg tak bisa dibuktikan".
Kelengkapan Godel menegaskan, jika semua aksioma bisa dibuktikan berarti inkonsisten.
Hakekat Kelengkapan Godel
Sebenarnya secara teori godel menganggap teori kelengkapan itu bisa, hanya karena kasus continuum hypothesis jadi berubah pikiran bahwa "memang terbukti kalau dianggap lengkap-pun ternyata ada cacatnya, tak konsisten, kontradiksi"
Godel tidak menunjukkan bahwa teori kelengkapan secara teoretis tidak mungkin dicapai, tetapi temuan Godel mengungkapkan bahwa tidak mungkin memiliki sistem matematika yang lengkap, konsisten, dan terbatas yang mencakup semua kebenaran matematika.
Godel pada awalnya berpikir bahwa teori kelengkapan mungkin dapat dicapai. Namun, kemudian ketika ia mempelajari kasus hipotesis kontinum, ia menemukan bahwa bahkan hipotesis ini tidak dapat dibuktikan atau dibantah dengan sistem matematika yang lengkap, konsisten, dan terbatas. Hal ini menunjukkan bahwa kebenaran matematika melampaui kemampuan sistem matematika yang lengkap dan terbatas.
Oleh karena itu, Godel menyimpulkan bahwa matematika tidak dapat diakomodasi sepenuhnya oleh sistem matematika formal. Godel menunjukkan bahwa matematika memerlukan asumsi dan prinsip yang lebih luas dan beragam dari sistem matematika formal, seperti intuisi matematis, argumen filosofis, dan bahasa natural.
Akhirnya ini kembali lagi ke sesi "koreksi aksiomatis" bahwa ada yg salah dalam proses matematis"
Solusinya, nanti di artikel berikutnya
